SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2

-
son sistemas de agrupación de 2 ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA 2X2:

Se llama solución de un sistema  2x2, a cualquier pareja de valores de X y Y que sea solución de ambas ecuaciones a la vez. la solución de este tipo de sistema son puntos de corte de las rectas que representan cada una de las ecuaciones del sistema.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN 

Existen diversos métodos para a solución de ecuaciones 2x2 se encuentra el método por sustitución, igualación, reducción y método gráfico.


  • MÉTODO POR SUSTITUCIÓN: 

          EJERCICIOS:
1
          A)2X + 3Y = 12
          B) X - Y = 1

         Despejamos X de B :

        C) X = 1 + Y
          
         Sustituimos C en A :
         
         2 ( 1 + Y ) + 3Y = 12
         2 + 2Y + 3Y = 12
         2 + 5Y = 12
         5Y = 12 - 2 
         5Y = 10
         Y = 10 / 5
         Y = 2 
          
        En C 

        X = 1 + 2 
        X = 3

2 )

       A)  2X + 3Y= 7
       B) -3X+ 4Y = -2

        Despejamos X

          2X = 7 - 3Y
          X = 7 - 3Y / 2
          -3 ( 7 - 3Y / 2 ) + 4Y = -2
          - 21 + 9Y / 2 + 4Y = -2 (2)
          -21 + 9Y + 8Y = -4
          9Y + 8Y = -4 + 21
          17Y  =  17
          Y = 17 / 17
          Y = 1
       Remplazamos Y
          X = 7 - 3 * 1 / 2
          X = 7 -3 / 2 
          X = 4 / 2
          X = 2

  • MÉTODO POR IGUALACIÓN:

1)

      A) X + 6Y = 27
      B) 7X - 3Y = 9

      Despejamos x
     
      A) X + 6Y = 27
           X = 27 - 6Y 

      B) 7X - 3Y = 9 
           7X = 9 + 3Y
           X = 9 + 3Y / 7
      Realizamos la igualdad

      27 - 6Y = ( 9 + 3Y / 7 )
      7 ( 27 - 6Y ) = 9 + 3Y 
      189 - 42Y = 9 + 3Y
      
       - 42Y - 3Y = 9 - 189
       - 45Y = -180
       Y = -180 / -45 
       Y = 4

      Sustituir  Y 

      X = 27 - 6 (4)
      X = 27 - 24 
      X = 3

2) 
       A) X + 8Y = 23
       B) X + Y = 9
       Despejamos X
      
       A) X = 23 - 8Y 
       B) X = 9 - Y
       Igualamos

       23 - 8Y = 9 - Y 
       -8Y + Y =  9 - 23
       -7Y  = -14  
       Despejamos  Y

       -7Y = -14 
       Y = -14 / -7 
       Y = 2
     Sustituimos  Y en B

   B) X = 9 - Y
     X = 9 - 2 
     X = 7 

  • MÉTODO DE REDUCCIÓN O  ELIMINACIÓN: 



1)
          A) X + Y = 5
          B) X - Y = 1
        
         Sumamos A Y B 
    
         X + X = 2X 
         Y - Y = 0 
         5 + 1 = 6
         2X = 6

       Despejamos  X

       2X = 6 
       X = 6 / 2 
       X = 3
      Remplazamos X En A

    A) X + Y = 5
     3 + Y = 5
     Y = 5 - 3
     Y = 2

2)
      A) 2X + Y = 10
      B) 5X - 3Y = 3

      Multiplicamos por 3 
     
      A) (2X + Y = 10 )(3) 
      A) 6X + 3Y = 30
      B) 5X - 3Y = 3
      Eliminamos 3Y y sumamos A y B
   
      11X = 33
      X = 33 / 11
      X = 3
      Remplazamos X en A
  
      A) 2X + Y = 10
      2(3) + Y = 10
      6 + Y = 10
      Y = 10 - 6
      Y = 4 

  • MÉTODO GRÁFICO:


1)     
         A) 3X - 4Y = -6
         B)X + 2Y = 8

          X = 0 → Y
          Y = 0 → X
          Sustituimos cuando X = 0 en la A

          A) 3X - 4Y = -6
               3(0) - 4Y = -6
          -4Y = - 6
           Y = -6 / -4
           Y = 3 / 2
         Vamos a sustituir cuando Y = 0 en la A

A) 3X- 4Y = -6
     3X - 4(0) = -6
  3X = -6
    X = -6 / 3
  X = -2 

        Sustituimos Y = 0 en la B
       B)  X + 2Y = 8
             0 + 2Y = 8
             2Y = 8 
             Y = 8 / 2
             Y = 4
        Vamos a sustituir  Y = 0 en la B
         B) X + 2Y = 8
              X + 2(0) = 8
          X = 8

               X   Y      X   Y 
        A) (0 , 1.5) , (-2 , 0)
        B) ( 0 , 4 ) , ( 8 , 0 ) 
         
2)
    A) -X + Y = 1
    B)  X + Y = 3
          
           X = 0 → Y
           Y = 0 → X
           Sustituimos cuando X = 0 en la A
         A) -X + Y = 1
          -0 + Y = 1
           Y = 1
           Vamos a sustituir cuando Y = 0 en la A

           A) -X + Y = 1
                -X + 0 = 1
                -X = 1 (-1)
                X = -1
          Sustituimos X = 0  en B

          B)  X + Y = 3 
                0 + Y = 3
                Y = 3
          Vamos a sustituir Y = 0 en la B
       
          B) X + Y = 3
               X + 0 = 3
               X = 3

              X   Y      X   Y 
        A) (0 , 1) , (-1 , 0)
        B) ( 0 , 3 ) , ( 3 , 0 ) 



APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE ECUACIÓN 2X2

Los problemas pueden resolverse por cualquier metodo, el que tu consideres mas rapido y sencillo

USAREMOS EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:

  • Entre Sergio y Ana tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuanto dinero tiene cada  uno ?


Llamemos X al numero de euros de Ana  y Y al de sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación de
X + Y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana tendremos que Y = 2X  las dos ecuacion conforman.

X + Y = 600 Y = 2X
X + 2X = 600
3X = 600
X = 600 / 3
X = 200

Sustituimos la X = 200 en la ecuación despejada  de Y 

Y = 2X
Y = 2 (200)
 Y = 400

Entonces podemos decir que Ana tiene 200 y Sergio tiene 400

USAREMOS EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN
  • La suma de dos cifras en un numero es 14, y si al numero se le resta 36 las cifras se invierten hallar el numero.
X: Cifra de las decenas
Y: Cifra de las unidades

Numero original : 10X + Y

A) X+ Y = 14
B) 10X + Y - 36 =  10Y + X

Organizamos

B) 10X + Y - 10Y - X = 36
      9X - 9Y = 36
   9 / ( 9X - 9Y = 36)
   B)   X - Y = 4


Reescribimos las ecuaciones

A) X + Y = 14 
 B) X - Y = 4

Sumamos en forma vertical
 2X = 18

Despejamos X
X = 18 / 2
X = 9

Remplazamos X en la ecuacion A

X + Y = 14
9 + Y = 14
Y = 14 - 9 
Y = 5

USAREMOS EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:

  • Tres adultos y cinco niños pagan 190 euros para entrar aun parque de diversiones. si son cuatro adultos y siete niños, el valor a cancelar es 260 euros. ¿cual es el valor de cada entrada para niños y adultos?
X) Precio entrada adulto (euros)
Y) Precio entradas niños (euros)

A) 3X + 5Y = 190
B) 4X + 7Y = 260

Despejamos Y En la A

A) 3X + 5Y = 190
      5Y = 190 - 3X 
     1)Y = 190 - 3X / 5
Despejamos Y en la B

B) 4X + 7Y = 260
     7Y = 260 - 4X
    2) Y = 260 - 4X / 7



190 - 3X / 5 = 260 - 4X / 7
7 (190 - 3X) / 5 (260 - 4X)
1330 - 21X = 1300 - 20X
-21X + 20X = 1300 - 1330
-X = -30 (-1)
X = 30 

Sustituimos  X  en la ecuacion 1)

Y = 190 - 3X /5
Y = 190 - 3(30) /5
Y = 190 - 90 / 5
Y = 100 / 5
Y =  20

Podemos decir que el precio de una entrada de adulto es 30 euros y el precio de la entrada de un niño es 20 euros

ACTIVIDAD:
  • Resolver por el método de sustitución la siguiente ecuaciones:

1)
A) -3X + 4Y = -24
B) 5X + 7Y = -1

2)
A) -X +5Y = 6 
B) 3X + Y = 10

3)
A) -5X + Y = 8
B) 8X - 7Y = 25

  • Resolver por el método de igualación las siguientes ecuaciones: 
1)
A) 6X - 18Y = - 85
B) 24X - 5Y = -5

2)
A) 3X + Y= 6
B) 6X - 2Y = 8

3)
A) 2X - 3Y = 4
B) X + 5Y = 12
  • Resolver por el método de eliminación las siguientes ecuaciones: 
1) 
A) 3X - 2Y = -4
B) X + 2Y = 12

2)
A) 3X + Y = 5
B) -3X + 3Y = 6

3)
A) 6X + 5Y = 10
B) 3X - 5Y = 8

  • Resolver por el método gráfico las siguientes ecuaciones
1)
A) X + 2Y = 4
B) 3X - Y = 5

2)
A) 2X - 3Y = -14 
B) 5X - 2Y = -24

3)
A) 3X - 2Y = -2
B) X +Y = 6


https://es.slideshare.net/jeidokodfs/mtodos-de-solucin-para-ecuaciones-2x2





























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