CRECIMIENTO EXPONENCIAL

MODELOS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICOS

CRECIMIENTO EXPONENCIAL: Los modelos de crecimiento exponencial aplican para cualquier situación donde el crecimiento es proporcional al tamaño actual de la cantidad de interés.

Los modelos de crecimiento exponencial a menudo son usados para situaciones de la vida real como el interés ganado en una inversión, población humana o animal, crecimiento de cultivo bacterial, etc.

El modelo general de crecimiento exponencial es:

y = A (1 + r ) t ,

• d A es la cantidad inicial o número 
• r es la tasa de crecimiento (por ejemplo, una tasa de crecimiento del 2% significa 
• r = 0.02), 
• t es el tiempo transcurrido

• TIPOS DE PROBLEMA

1) La población de un virus se multiplica por 6 cada hora partiendo de 200 individuos.  en cuanto tiempo se alcanzan los 10 mil individuos?   

         la formula general que rige este crecimiento es    Y = A* r^t   

• r = 6                                                                                                       
• A = 200

  Y = 200 * 6^t  

 10.000.000 = 200 * 6^t  

10.000.000 / 200 =  6^t  

50.000 = 6^t  

t =  Log₆ 50.000 = log₁₀ 50.000 / log₁₀6 

t = 4.698970/ 0.778151

t = 6.04 horas

    2) cada hora se elimina un 40% de la cantidad de alcohol en la sangre. partiendo de 1.65g/l ¿cuanto tardara en                  descender la cantidad de alcohol de 0.4g/l?

       ahora tenemos un decrecimiento. la formula general sigue siendo igual pero ahora r es menos que 1

        Y = A . r^t

       A = 1,65 g/l

      cantidad eliminada 1 hora = cantidad inicial x 40/100

      cantidad tras 1 hora = cantidad inicial  x 60/100

      r =  60/100

      r =  0.6

      c = 0.4 g/l

       

      0.4 = 1.65 . 0.6^t

      0.4 / 1.65 = 0.6^t

     0.2424 = 0.6^t

T = log_0.6 0.2424 = log₁₀ 0.2424 / log₁₀ 0.6

T = -0.615423 / - 0.221848

T = 2, 77 horas 

         EJERCICIOS DE APLICACIÓN

             1)  Una población de bacterias,  se duplica 20 cada minuto.si la población inicial es de 500 bacterias, cuantos                          ejemplares habrá dentro de 2 horas

F(x) = A (r)^t

            2 horas =120 min 

                            6*20

            A = 500 

            r = 2

            t = 6

F(6) = 500 * 2⁶

F(6) = 500 * 64

F(6) = 32,000

             2) Sabiendo que el 30 de octubre del año 2011 se alcanzaron los 7000 MIL de personas en el mundo, y                               conociendo el ratio de crecimiento actual del 1.2% anual, ¿en qué año se doblaría la población suponiendo que                el ratio de crecimiento se mantenga constante?

             y = 7000 MILL*2 = 14000 MILL

             a = 7000 MILL

             r = 1.2% = 0.012

            (1+r)  = 1.012

             t?

Y = A (1+r)^t

14000 = 7000 ( 1.012)^t

2 = 1.012^t

ln2 = ln (1.012^t)

0.69315 = t (ln 1.012) = t* 0.01193

t = 58.1 años

            3) si inviertes $1500 en una cuenta bancaria que proporciona 23% de interés anual a plazo fijo de 5 años ¿ cual                    es el montón que recibirás al concluir el plazo del 

              deposito?  

V(t)= 1500(1+i)^t
V(5) = 1500(1.23)⁵
V(5) = $4222.96

• ACTIVIDAD

1) Un almacén de aparatos electrodomésticos  liquida mercancía de exhibición con,  con  ligeros deterioros, mediante el sistema de reducir cada año 35% el ingreso de esta mercancía que va quedando almacenada. si compras un refrigerador almacenado 3 años, con un precio inicial de $12455 ¿cuanto pagaras por el ? 

2) En una ciudad de 9000 habitantes se esparce un rumor de modo que cada hora se duplica la cantidad de personas que se enteran del mismo ¿cuantas personas conocerán el rumor acabo de 12 horas?

3) en enero del 2000 adquiriste un auto en 100,000 si cada año disminuye el 13% su valor inicial ¿cuanto valdrá en el año 2009?

https://es.slideshare.net/onio72/ctii-problemas-crecimiento-y-decrecimiento-exponencial

https://es.slideshare.net/guest79929af/problemas-resueltos-de-aplicacin-de-funciones-exponenciales?next_slideshow=1

https://prezi.com/sqiqbjgjy_ez/funciones-exponenciales-y-logaritmicas-aplicadas-a-la-admini/

https://es.slideshare.net/lorenarojitas/funcin-exponencial-logartmica