MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA

INTRODUCCIÓN

Las matemáticas se aplican constantemente en la administración y actos de comercio por tal motivo, este blog tiene el propósito de generar los conocimientos sobre la aplicación de las matemáticas en la administración a través de los diferentes temas y problemas que se verán y solucionaran con distintos métodos. 

 

CONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS ENTEROS: En nuestros días empleamos números negativos con cierta frecuencia, por ejemplo para referirnos a una temperatura bajo ceros a o la profundidad de una sima marina. al ampliar el conjunto N de los números naturales con  los correspondientes números negativos, obtenerlos el conjunto Z de los números enteros.

•  AMPLIACIÓN DE EL CONJUNTO N: Para interpretar numéricamente una deuda monetaria. o bien conseguir que todas las ecuaciones del tipo a+x= b, donde a y b son números naturales cual quiera, tengan solución, necesitamos, ademas de los números positivos, el cero y los negativos. Así, definimos el conjunto Z de los números enteros como el conjunto formado por todos los números naturales también llamados enteros positivos, y por los números enteros negativos.    Z={...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

• SUMA DE NÚMEROS ENTEROS:  

1. La suma de dos números enteros de igual signo se obtiene sumando los valores absolutos de ambos y se deja el signo que tenían ambos sumando.   ejemplo: 4 + 3 = 7, -5 -8 = -13 
2. la suma de dos números enteros de distinto signo es igual a la diferencia de los valores absolutos y se deja el signo de mayor valor absoluto 
3. el numero 0 es neutro ya que a + 0 = 0 + a    ejemplo: 7 + (-5) = 2, 6 + (-9) = -3  

• RESTA DE NÚMEROS ENTEROS: La resta de dos números enteros puede considerarse como un caso particular de la suma de enteros, ya se define como la suma del primero con el opuesto del segundo. 

   ejemplo:  3 - 15 = 3 + (-15) = -12

• MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS: Para multiplicar números enteros hemos de recordar números naturales pues se multiplican sus valores absolutos, y la llamada regla de los signos que se define así.

• DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS: La división de dos números enteros no da siempre un numero entero, por lo que no se puede definir en Z, pero si podemos definir la llamada división euclidea a todo par de números enteros m y n siendo n > 0 podemos asociar dos únicos números enteros c y r llamados, respectivamente, cociente y resto, tales que:

          m = n . c + r y 0 < r < n

         Ejemplo: 7 = 2 . 3 + 1, -9 = 4. (-2) + (-1)

           si una expresiones dispone de potencias junto a las sumas  o restas y las multiplicaciones o divisiones la potencia             tiene prioridad absoluta frente a las demás operaciones

Ejemplo:  3 : (4 – 5)² – 2 . 3³ – 5 . (6 + 2 . 7²) =

 3 :  (- 1)² – 2 . 27 – 5 . (6 + 2 . 49)=

3 : 1 – 54 – 5 . (6 +  98) = 3 – 54 – 5 . 104 =

3 – 54 – 520 = - 571     

NÚMEROS RACIONALES: Nos ocuparemos ahora de una nueva ampliación del conjunto de los números. si anteriormente introducimos el cero y los números negativos para que la resta se pudiera realizar siempre, ahora introduciremos las fracciones para que la división de dos números siempre se pueda efectuar.

• EL NUMERO RACIONAL COMO CONJUNTO DE FRACCIONES EQUIVALENTES: Sea el conjunto F={a/b} donde a y b pertenecen a Z (Conjunto de los números enteros) y con b diferente de 0. Estableceremos la siguiente relación en F, dos fracciones son equivalentes.                                                                                                                                                                                                a/b Es equivalente a c/d cuando  a . b = b . c        

• SUMA DE RACIONALES: El resultado de cualquier operación con números racionales es independiente de los representaste elegido. Para realizar la suma de fracciones se ha de tener en cuenta que esta solo se puede realizar cuando todos tiene el mismo denominador.  De no ser así, se tendrá que hallar previamente el mcm de los denominadores y después buscar en numero que, con el nuevo denominador, corresponda el mismo numero racional en cada una de la fracciones que intervengan.                                                                                                    ejemplo: Hallar las fracciones equivalentes a:  2/5, 7/3 y 5/4                     

• PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS RACIONALES:     

1. COMUNICATIVA:                          a + b = b + a

      2. ASOCIATIVA:

(a + b) + c = a + (b + c)

 

      3. ELEMENTO NEUTRO

a + 0 = a

     4. ELEMENTO OPUESTO

a + ( -a ) = 0 

• MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES: El resultado de dos o mas números racionales es otro numero racional que tiene por numerador el producto de todos los numeradores y como denominador  el producto de todos los denominadores.

a/b . c/d = a . c/ b . d

• PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES:

       1.COMUNICATIVA:                                                a/b . c/d = c/d . a/b

          

   

        2. ASOCIATIVA:                                           (a/b . c/d) . m/n = a/b . (c/d . m/n) 

 

       3. ELEMENTO NEUTRO:                                             1/1 . a/b =  a/b

       4. ELEMENTO INVERSO:                                          a/b . b/a = 1/1 =1

        5. DISTRIBUTIVA:                                         a/b . (c/d + m/n) = a/b . c/d + a/b . m/n  

 

NÚMEROS DECIMALES: Cuando hablamos de un centavo de dolar o de un céntimo de euro, nos estamos refiriendo a la centésima parte de dichas moneas, es decir, a la fracción 1/100. En este caso como en otro muchos, resulta mas cómodo expresar el numero en forma decimal: 0,01.

• OBTENCIÓN DE LA EXPRESIÓN DECIMAL: El numero decimal que corresponde a cada numero racional a/b  se obtiene simplemente dividiendo el numerador a por el denominador b.

          Ejemplos:  -(expresión racional) 14/5 = 2,8 que se lee dos coma ocho unidades.

                            -(expresión racional) 13/4 = 3,25 que se lee tres coma veinticinco.

          Así pues, un numero decimal es una suma indicada en enteros y fracciones con denominadores que son potencias              sucesivas de 10.

           Ejemplo: 

                            4,28 = 4 + 2/10 + 8/100

                           13/8 =13 : 8 =1,625 = 1 + 6/10 + 2/100 + 5/1000

• CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES: Cuando se expresa un numero racional en su forma decimal pueden pasar dos casos.

1. que la división sea exacta,  

Ejemplo: 13/5 = 2,6

      2.que la división no sea exacta 

                   

            a)periódicos puros:  

Ejemplo: 41/33 = 1,2424... = 1,24

            b)periódicos mixtos:

Ejemplo: 13/6 = 2,1666 = 2,16

• SUMA DE NÚMEROS DECIMALES: La audición o suma de dos o mas números decimales tiene como resultado otro numero decimal se ha tener la precaución al realizar la operación de hacer concordar en la misma columna aquellas cifras cuyo valor relativo coinciden, tanto en la parte entera como en la parte decimal del numero.

Ejemplo: 4,32 + 6,211 = 10,531

• PROPIEDADES DE LA SUMA DE DECIMALES:

1. COMUNICATIVA:                                                            a  + b = b + a        

Ejemplo: 3,5 + 2,4 = 2,4 + 3,5 = 5,9

      2.ASOCIATIVA:                                                                (a + b) + c = a (b + c)        

Ejemplos: (4,32 + 6,1) + 2,3 = 10,42 + 2,3 = 12,72

      3.ELEMENTO NEUTRO:                       a + 0 = a

      4.ELEMENTO OPUESTO:                    a + (-a) = a - a = 0

• MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES: 

         -El producto de dos números decimales tiene como resultado otro numero decimal, al final se ha de tener en                      cuenta que el resultado tenga tantos decimales como multiplicando y multiplicador juntos, el multiplicando tiene               dos decimales y el multiplicador tres por lo tanto el resultado es cinco.

Ejemplo: 2,71 * 3,123 = 8,46333

       -en la practica cuando la suma de decimales entre multiplicando y multiplicador es excesiva, se realiza la operación           con todas las cifras decimales pero el resultado se expresa con el numero de decimales con que se esta trabajando.

         Ejemplos: 3,17423 * 51, 23523 = 162,6324 

NÚMEROS REALES: La existencia de números decimales no periódicos es coincidencia desde tiempos remotos. el numero áureo, por ejemplos, que se obtiene al calcular la relación existente entre la diagonal de un pentágono y el lado del mismo , fue descubierto en la antigua Grecia y se ha utilizado después profusamente, tanto en la ciencia como en el arte. 

en la imagen anterior podemos evidenciar que en el conjunto de números reales se encuentran absolutamente todos los conjuntos

•  EXISTENCIA DE NÚMEROS IRRACIONALES: No es difícil idear números con infinitas cifras decimales que no están compuestas por ningún  periodo  como 3,1010010001 numero que se ha formado añadiendo después de cada 1 un cero mas que en el caso anterior con lo que no hay ninguna posibilidad de que se forme un periodo.Del mismo modo  si aplicaos el teorema de Pitágoras al calculo de la diagonal de un cuadrado de la do 1 obtenemos:    d= √1² + 1² = √ 2  este numero tampoco es racional ya que no puede ponerse en forma de fracción.

          a este conjunto de números que tienen infinitos decimales pero que no tienen periodo se les llama números                          irracionales I y al conjunto formado por todos los números racionales mas  todos los irracionales se le llama                        conjunto de los números reales

EJERCICIOS: 

1) 9 + (-14) = -5
2)-21 - 48 = -69
3)10 . (-8) = -80
4)8,326 * 2,93 = 24,39518
5)(- 4)². (- 4)⁵ .(- 4)⁴ . (- 4)³=

     16 . – 1024 . 256 . – 64  =

       - 16,384 . -16,384 =

            268.435456

7) 3, 56 * 2,301 = 8,19156

8)18, 62941 * 2,29751 = 42,7956

ACTIVIDAD:
Realice los siguientes ejercicios

• 5 + (-11) =
• -23 -14 =
• 8 - 20 =
• 2 . (-5) =
• 2 : (7 – 9)²  - 4 . 6² . (2 + 3 . 4²) =
• 5,62 + 4,874 =
• 3,42 * 2,639 = 
• 53,93721 * 3,84626 =

MODELOS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICOS

CRECIMIENTO EXPONENCIAL: Los modelos de crecimiento exponencial aplican para cualquier situación donde el crecimiento es proporcional al tamaño actual de la cantidad de interés.

Los modelos de crecimiento exponencial a menudo son usados para situaciones de la vida real como el interés ganado en una inversión, población humana o animal, crecimiento de cultivo bacterial, etc.

El modelo general de crecimiento exponencial es:

y = A (1 + r ) t ,

• d A es la cantidad inicial o número 
• r es la tasa de crecimiento (por ejemplo, una tasa de crecimiento del 2% significa 
• r = 0.02), 
• t es el tiempo transcurrido

• TIPOS DE PROBLEMAS

         1) La población de un virus se multiplica por 6 cada hora partiendo de 200 individuos.  en cuanto tiempo se alcanzan los 10 mil individuos?   

         la formula general que rige este crecimiento es    Y = A* r^t   

• r = 6                                                                                                       
• A = 200

  Y = 200 * 6^t  

 10.000.000 = 200 * 6^t  

10.000.000 / 200 =  6^t  

50.000 = 6^t  

t =  Log₆ 50.000 = log₁₀ 50.000 / log₁₀6 

t = 4.698970/ 0.778151

t = 6.04 horas

           2) cada hora se elimina un 40% de la cantidad de alcohol en la sangre. partiendo de 1.65g/l ¿cuanto tardara en                  descender la cantidad de alcohol de 0.4g/l?

       ahora tenemos un decrecimiento. la formula general sigue siendo igual pero ahora r es menos que 1

        Y = A . r^t

       A = 1,65 g/l

      cantidad eliminada 1 hora = cantidad inicial x 40/100

      cantidad tras 1 hora = cantidad inicial  x 60/100

      r =  60/100

      r =  0.6

      c = 0.4 g/l

       

      0.4 = 1.65 . 0.6^t

      0.4 / 1.65 = 0.6^t

     0.2424 = 0.6^t

T = log_0.6 0.2424 = log₁₀ 0.2424 / log₁₀ 0.6

T = -0.615423 / - 0.221848

T = 2, 77 horas 

•    EJERCICIOS DE APLICACIÓN

             1)  Una población de bacterias,  se duplica 20 cada minuto.si la población inicial es de 500 bacterias, cuantos                          ejemplares habrá dentro de 2 horas

F(x) = A (r)^t

            2 horas =120 min 

                            6*20

            A = 500 

            r = 2

            t = 6

F(6) = 500 * 2⁶

F(6) = 500 * 64

F(6) = 32,000

             2) Sabiendo que el 30 de octubre del año 2011 se alcanzaron los 7000 MIL de personas en el mundo, y                               conociendo el ratio de crecimiento actual del 1.2% anual, ¿en qué año se doblaría la población suponiendo que                el ratio de crecimiento se mantenga constante?

             y = 7000 MILL*2 = 14000 MILL

             a = 7000 MILL

             r = 1.2% = 0.012

            (1+r)  = 1.012

             t?

Y = A (1+r)^t

14000 = 7000 ( 1.012)^t

2 = 1.012^t

ln2 = ln (1.012^t)

0.69315 = t (ln 1.012) = t* 0.01193

t = 58.1 años

            3) si inviertes $1500 en una cuenta bancaria que proporciona 23% de interés anual a plazo fijo de 5 años ¿ cual                    es el montón que recibirás al concluir el plazo del 

              deposito?  

V(t)= 1500(1+i)^t

V(5) = 1500(1.23)⁵

V(5) = $4222.96

• ACTIVIDAD

1) Un almacén de aparatos electrodomésticos  liquida mercancía de exhibición con,  con  ligeros deterioros, mediante el sistema de reducir cada año 35% el ingreso de esta mercancía que va quedando almacenada. si compras un refrigerador almacenado 3 años, con un precio inicial de $12455 ¿cuanto pagaras por el ? 

2) En una ciudad de 9000 habitantes se esparce un rumor de modo que cada hora se duplica la cantidad de personas que se enteran del mismo ¿cuantas personas conocerán el rumor acabo de 12 horas?

3) en enero del 2000 adquiriste un auto en 100,000 si cada año disminuye el 13% su valor inicial ¿cuanto valdrá en el año 2009?