LIMITES Y CONTINUIDAD

Una función  y = f(x) puede no estar definida para un cierto punto,  digamos x = xo , como sucede con  y = log x en el punto x = 0,  o como sucede con  y = tg x en el punto x = p/2 . En realidad, una función  y = f(x) puede llegar a mostrar un comportamiento extraño en cierto punto x = xo . Para comprender mejor estas posibles anomalías de algunas funciones se introduce la noción de límite de una función en un punto.

La función  y = f(x) tiene como límite L en el punto x=a.

Para determinar el límite de y = f(x) en cierto punto x = a ,  debemos prescindir del valor que tenga f(a), incluso puede que f(a) ni siquiera esté definido, y fijarnos en los valores de f(a) para puntos extremadamente cercanos a x = a.

En el ejemplo del gráfico, observando los valores de los puntos muy próximos a x= a, lo cual será expresado así:   se llega a la conclusión que el límite de y= f(x) "cuando x tiende al 

valor a" es L. Utilizando simbología matemática, lo expresamos:

LIMITES BÁSICOS:

➢ lim b=b

     x→c 

➢ lim x=c 

     x→c

 ➢ lim x n =c n 

      x→c

PROPIEDADES DE LOS LIMITES:

Sea dos funciones f(x), g(x)  tales que en cierto punto x = a,  sus límites respectivos son A y B, es decir:

entonces se tiene que:

• MÚLTIPLO ESCOLAR

 lim [b( f (x))]=b[lim f ( x )]

• SUMA O DIFERENCIA

lim [ f ( x ) ± g( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) 

• PRODUCTO

lim [ f ( x ) g( x )] = [lim f ( x )][lim g ( x )] 

• COCIENTE

lim [ f( x ) / g( x ) ]  = lim  [f ( x )] /  lim  [ g ( x )]  lim g( x ) ≠ 0

• POTENCIA

lim [ f ( x )] n =[lim f ( x )] n

pero siempre debemos desacartar las expresiones indeterminadas como las anteriormente citadas.

PARA QUE SIRVEN LOS LIMITES EN LA ADMINISTRACIÓN:

Un ejemplo de como utilizar los limites en la administración es como se elaboran gráficas para el nivel de producción y para encontrar el menor costo posible esto para generar un mayor ganancia para la misma empresa.

un ejemplo de esto es cuando se representa un alza en los costos de la materia prima, eso generara un  cambio en cuanto al costo que esta genero anteriormente 

LIMITES LATERALES :

LIMITES INFINITOS:

EJERCICIOS:

1) 

EJERCICIOS DE APLICACIÓN:


1) Si se depositan 1000 en un banco que paga un interés compuesto del 6% anual entonces cuanto es la cantidad den deposito después de un año?

S = Po ( 1 + I)^t

 Po = 1000

 ^{I = 6%}

 t = 1 año

S = 1000 ( 1 + 6/100 )¹

S = 1060

2) suponga que las ventas diarias en dolares, t días después de terminar una campaña publicitaria son:

 S(t) = 400 + (2400 / t +1 ) 

encuentre 

lim S(t)               y               lim S(t)

t→ 7                                    t→14

S(t) = 400 + (2400 / 7 + 1)

S(t) = 400 + ( 2400 / 8 )

S(t) = 400 + 300

S(t) = 700 dolares

S(t) = 400 + (2400 / 14 + 1)

S(t) = 400 + (2400 / 15)

S(t) = 400 + 160

S(t) = 560 dolares

3) se ha estimado que la población de un barrio en una gran ciudad evolucionara siguiendo el modelo F(t) = (240 + 20t) / (16 + t) en miles de habitantes, donde t indica los años transcurridos desde su creación en 2005

a)¿que población tenia el barrio en el año 2005?

b)¿que población tenia en 2015?

a)

F(0) = (240 + 20(0)) / (16 + 0) 

F(0) = 240 / 16 

F(0) = 15

Lo cual serian 15.000 habitantes

b) Desde 2005 hasta 2015 hay 10 años 

F(10) = (240 + 20 (10)) / 16 +10

F(10) = 240 +200 / 26

F(10) = 440 /26

F(0) = 16,923 

16,923 habitantes

ACTIVIDAD:

1) Lim (X² – 1) / ( X²-1)

     X→-1

2) Lim (2x² + 6x - 1)

     X→2 

3) Lim (X + 3) / (X² – 9) 

     X→2

4) Lim (X² – X - 2) / (X - 2 ) 

     X→3

5) a cuanto se acenderan 2000 en 8 años, si se invirtieron a una tasa efectiva del 6% durante los primeros 4 años y de hay en adeante el 6% compuesto semestralmente 

6) un certificado de deposito de 6000 es comprado en 6000 y se mantiene durante 7 años. si es certificado devenga un tasa efectiva  del 8% ¿cual es tu valor al final de este periodo?

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/file.php/351/Documentos_Calculo_I/Limites.pdf