FUNCIONES CUADRATICAS

Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por ejemplo, Física, Economía, Biología, Arquitectura. Son útiles para describir movimientos con aceleración constante, trayectoria de proyectiles, ganancias y costos de empresas, variación de la población de una determinada especie que responde a este tipo de función, y obtener así información sin necesidad de recurrir a la experimentación.

En matemática, una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma:

f(x) =ax² + bx +c

• ax 2 es el término cuadrático

• bx es el término lineal

• c es el término independiente

los valores de "b" y "a" son los coeficientes de la fórmula de la función cuadrática.

donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero .

Otra formula de ecuación cuadrática es

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

La gráfica de una función cuadrática es siempre una curva, o parte de una curva, que se llama parábola. 

Los puntos del plano que verifican la ecuación y = ax² + bx +c, con a distinto de 0 constituyen la gráfica.

Las parábolas son curvas que podemos descubrir observando nuestra realidad.

ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA:

EJE DE SIMETRÍA: 

Es la recta vertical que divide a la parábola en dos partes exactamente iguales. Para expresar el eje de simetría se escribe x = (punto de corte de la parábola con el eje x).

El eje de simetría de una parábola puede determinarse mediante la siguiente expresión:

VÉRTICE:  

Es el punto donde el eje de simetría corta a la parábola. Se denota V(x_v, y_v).

Las fórmulas para calcular las coordenadas del punto del vértice son: 

CORTES CON LOS EJES:

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

EJERCICIOS:

1) Graficar la siguiente función cuadrática

Y = X2- 4X + 3

a = 1

b = -4

c = 3

       1. Vértice 

Xv = -(-4) / 2 . 1 = 2

Yv = 2²- 4 . 2 +3 = -1

V (2 , -1)

      2. Eje de simetría: es la recta X = 2

      3. Punto de corte con el eje X

X² – 4X + 3 = 0 

  

= 4 +- 2 / 2

X_{1 = 3}

X₂ = 1

Los puntos de corte son (3,0) y (1, 0)

     4. Puntos de corte con el eje  Y

   

          Y = 0² – 4.0 + 3 = 3 por lo tanto el punto es (0,3)

2) Graficar la siguiente ecuación cuadrática

 Y = X² -2X + 3 

a = 1

b = -2 

c = 3

           Xv = - (-2) / 2.1 = 1

           Yv = 1²- 2.1 + 3 = 2

         V = (1,2)

      2. Eje de simetria: es la recta X = 1

      3. punto de corte con el eje X

      4. Puntos de corte con el eje Y 

Y = 0²- 2.0 + 3 = 3

Punto de corte es  (0,3)

3) Graficar la siguiente función cuadrática

Y = X²- 4X + 4  

a = 1

b = -4

c = 4

 Xv = -(4) / 2 . 1 = 2

 Yv = 2² – 4 . 2 + 4 = 0

 V = (2,0) 

      2. Eje de simetria: es la recta X = 2

      3. Punto de corte con el eje X

        X²- 4X + 4 = 0

        la parabola tiene un solo corte con el eje X y es el punto (2,0)

       4. puntos de corte con el eje Y 

           Y = 0²- 4 . 0 + 4 = 4 por lo tanto el punto es (0,4) 

APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

1) Si el número de turistas que hace un recorrido en autobús a una ciudad es exactamente 30, una empresa cobra 20$ por persona. Por cada persona adicional a las 30, se reduce el cobro personal en 0,5$. ¿Cuál es el número de turistas que debe llevar un autobús para maximizar los ingresos de la empresa?.

La función que define los ingresos es igual al precio por la cantidad de personas... ahora, también sabemos que por cada persona por encima de los 30 (30+x), se resta 0,50 al valor del pasaje(20-0,5*x)... entonces los ingresos serán:

I = (30+x)*(20-0,5*x)

I = 600 -15x + 20x - 0,5X²

I = -0,5X²+ 5x + 600 

I = -0,5X²+ 5x + 600 

I' = (-0,5X²)' + (5x)' + (600)'

Ahora, sabemos que si

f(x) = k*Xⁿ

entonces

 f'(x) = n*k*X^(n-1)

I' = -2*0,5*x + 1*5 + 0*600

I' = -x + 5 

Ahora, igualamos la derivada a 0

0 = -x + 5

[[ x = 5 ]] Entonces, la cantidad de personas será: 30+5 = 35 personas

La cantidad de personas sera 35

2) Mensualmente una compañía puede vender x unidades de cierto artículo a  p pesos cada uno, en donde la relación entre p y x (precio y número de artículos vendidos) esta dada por la siguiente ecuación de demanda: P=1400 – 40x  ¿cuantos artículos debe vender para obtener unos ingresos de 12.000 pesos?

Bien, acá tenemos los ingresos expresados en función de la cantidad de gente por encima de 30 que sube... ahora, para hallar el punto de mayor ingreso tenemos dos maneras de hacerlo:

Partimos de la siguiente ecuación de economía:

INGRESO= PRECIO DE VENTA x NUMERO DE ARTICULOS VENDIDOS.

 Datos suministrados:

•              Ingreso=12000  pesos

•              Precio de venta=1400-40x

•              Número de artículos vendidos= x

Ingreso=precio de venta x números de artículos vendidos

 12000=  (14000-40x)  X

12000= 1400x -  40 x2

Lo que nos da  una ecuación cuadrática, haremos ahora una transposición de  términos para llevarla a su forma general, quedando de la siguiente manera:

40 x2 – 1400x  + 12000=0

Esta ecuación se puede simplificar dividiendo cada termino entre 40. Quedando:

 x2 -35x + 300 = 0

esta ecuación se puede solucionar por factorización, multiplicando dos paréntesis:

(x-20) (x-15) = 0

(x-20) = 0     (x—15)=0

x=20 y x=15

(x-20) (x-15) = 0

(x-20) = 0     (x—15)=0

 por  lo  que x=20 y x=15, son las soluciones de este problema

3) A es dos años mayor que B y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 año. hayar ambas edades

X = La edad de A

X - 2 = La edad de B

Segun las condiciones:  

             X² + ( X – 2 )² = 130 

Simplificado, se obtiene: 

            X² – 2X – 63 = 0

Resolviendo 

(X - 9) (X + 7) = 0

X - 9 = 0   X = 9

X + 7 = 0  X = -7

Por lo tanto 

A = 9 años

B = 7 años

  

ACTIVIDAD:

Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas.

1) 9x 2 + 6x + 10 = 0

2) 3x 2 – 9x + 0 = 0 

3) –6x 2 + 0x + 10 = 0

4) X² – 5X + 6 = 0

5) 2X²- 5X – 3 = 0

6) X² – 2X + 15 = 0